云梯车最优控制问题描述,  南沙云梯车出租, 南沙云梯车, 云梯车出租   对于最优控制问题，当下的提法是对于利用最优控制理论求解的实际模型，我们如何将它转化为数学语言，并通过数学的方式加以表述。对于最优控制这一提法，我们将以下几步来阐释。第一，把具体的模型转化为状态方程： 第二，把初始状态0tx设置为00xtx，把最终状态)(ftx设置为26ff)(xtx。若假设0fx成立，那么所提出的问题就称为终端控制器的设计问题，若假设0fx成立，那么所提出的问题称为控制器的设计问题。第三，给出目标函数，也就是性能指标如下：对于以上提法，解释如下：通过确定一个最优控制向量tu，从而使得被控对象在从)(0tx运动到)(ftx的过程中，uJ能够取到极值。该问题实质上是求对一类设置了限制条件的范函的极限值问题。变分法、极小值定理及动态规划法是求解上述问题的常用方法。

      LQR控制方案研究,   LQR最优控制简介最优控制主要研究的问题是：首先对被控对象建立数学模型，选择一个可行的控制规律，使被控对象按预定的要求运行，并使系统性能达到最优值。如果所研究的对象是线性系统，并且性能泛函是状态变量或控制变量的二次型函数的积分，则把此最优控制问题称为线性二次型（LinearQuadraticRegulator，LQR）最优控制问题。LQR控制算法广泛地应用在工程上，其控制器具有状态反馈特性，在状态反馈控制系统的设计中应用最多，现在也逐渐成为进行多变量反馈系统设计的有效分析方法。

     LQR最优控制最优控制主要研究的问题是：系统的状态方程如下：yDuCxxBuAx,  性能指标函数J(u)为：0xJ)(udtRuQxTT,  x、u、y分别代表状态向量，输入向量和输出向量，它们的维度分别是n，r，m。Q、R都是加权矩阵，满足Q≥0，R＞0的要求。其中Q是27半正定矩阵，用来衡量x的权重大小；R是实对称矩阵，用来衡量y的权重大小，在工程上，单输入系统，一般取R=1。系统受到干扰时，施加一定的控制U*使得系统在恢复稳定状态的同时性能指标函数值最小。根据最优控制理论，使得J取得最小值的规律如下：UBKxPxRT-*1，K代表最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，求解黎卡堤等式：01得到P、K的值.

     控制方案设计,  针对本文所设计的系统，LQR控制方案仅需设置一个状态反馈及校正装置，用以求得最优控制信号，同时满足性能指标J最小。通过MATLAB指令，可求得最优状态反馈的函数lqr。在实际软件使用过程中，使用以下调用命令：SRDCBALqrEK,  根据控制器原理，由第二章所求出的云梯车系统的状态方程，可以得到系统结构图。输入变量为x，即系统给定速度的阶跃输入；状态变量4个，用x表示小车的位移量，x表示小车的速度，表示重物产生的摆角，代表角速度；输出量为y，包含小车的坐标及负载的偏摆角度大小，表达式是xy。对于云梯车系统，当增加控制器之后，对系统施加一个输入，小车会朝目标位置运动，运动过程中吊具会有摆动产生。在控制算法的作用下，云梯车车能够快速达到特定位置，偏摆角度也能很快消除或降到一定角度之内。矩阵Q的选取是LQR控制器设计的重点也是难点，需要经过大量的实验和反复的调试。理论上，矩阵Q的大小与系统达到稳定的时间成反比关系，即Q值越大，系统就能在越短的时间内达到稳态。对于控制器的参数，首先取R=1，Q=CT*C，然后结合实验过程，不断对Q、C进行调节。此时求得LQR的反馈矩阵为：K=[15.1591.1386.771]。用Q11表示云梯车小车位置所占权重大小，用Q33表示云梯车系统摆角所占权重大小。在大量的实验之后，得到如下结论：Q11变化对整个系统的影响权重比Q33的变化造成的影响大。Q11的变化不但对小车的精准定位造成影响，而且对摆角的偏摆幅度产生作用。经过反复调试，得到比较理想的控制效果，此时，Q11和Q33的值分别为5000，100。MATLAB程序如下：A=[0，1，0，0；0，-0.08，19.6，0；0，0，0，1；0，0.08，-29.4，0]；B=[0；0.4；0；-0.4]；C=[1，0，0，0；0，0，1，0]；D=[0；0]；Q=diag([5000，0，110，0])；R=1；[K，s，e]=lqr(A，B，Q，R)Hc=A-B*K；Ic=B*K(1)；Jc=C；Kc=D；Lc=ss(Hc，Ic，Jc，Kc)；step(Lc)通过以上程序，得到LQR控制下系统的位置和角度响应曲线。Q11=5000，Q33=100时系统阶跃响应曲线，第一个图是位置响应曲线，第二个图是速度响应曲线，第三个图是摆角响应曲线。在0.32s左右，云梯车摆臂的摆角达到最大值-0.51°，小车4.1s左右到达目标位置，摆臂振动基本消失。

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      PID-LQR控制方案研究,   根据LQR原理可知，需要使用LQR进行控制必须进行近似线性化。当摆角离平衡点较远或者模型参数不准确时，LQR的稳定性将受到很大的抑制，而且LQR只有状态反馈，没有输出反馈，所以LQR经常会与一个积分项共同使用，即LQR-I。从LQR到LQR-I的改进过程中深受启发，于是本文为了实现控制器的快响应且低超调，设计了既有状态反馈也有输出反馈的PID-LQR控制器。PID控制是指比例-积分-微分控制的简称，广泛地应用于工控行业。在PID控制算法中，比例、积分、微分是三个基本的控制单元。比例单元是最基本的单元，它反应系统的当前误差，系数大小与误差成反比，然而过大却会降低稳定性，30甚至使系统不稳定。积分单元体现系统累计误差，能够消除稳态误差。微分单元能够改善系统动态性能，但是也会放大噪音的干扰。综上，由于位置控制与角度控制两者具有耦合关系且PID控制器对系统的依赖性不高，所以若使用PID-LQR控制器，不但能够在LQR位置控制上进行一定补偿，保证控制系统的稳定性，又能提高响应时间与减少超调，改善闭环动态响应，充分综合两类控制器的优点，实现更好的位置跟踪。需要指出的是图中的LQR增益只使用了速度、角度和角速度三个量，是因为LQR中的位置增益完全可以合并到PID的P值增益处。对于LQR控制器的参数调试，方法相对简单，只要初始设定参数较合理，闭环系统都可达到稳态。然后，可通过使用试凑法或判断性能指标J的敏感性等方法进行微调。对于PID参数整定，使用常规的Ziegler-Nichols整定方法设置参数，经过反复调试得SignalConstraint模块可采用简单搜索、梯度下降、单纯形法等算法对控制系统进行参数优化，并且当控制效果满足设定的误差限时输出结果。由于其具有优化时间短、简便易行等特点，现今广泛用于理论和实际的控制器参数优化方面。除了引入2个整定模块外，还引入InterpertedMATLABFunction模块，让系统可通过权重系数Q与R值在线计算LQR增益。整定步骤如下：1)打开模型工作空间Modelworkspace，将结果赋入其中。2)打开SignalConstraint模块的GUI界面，添加优化变量，打开Optimization窗口并选中单纯形法，误差限设定为310，点击Optimize进行参数优化，优化界面。优化经过约30次迭代（约2分钟）后优化结束，得到位置与角度响应特性上下限范围分别为-0.02~9×10-5和-0.0528~0.0588。经过SignalConstraint模块优化后，参数值为：4321.29531.100008531.45100001721.22800004239.47530612.10332.03738.43RQKKKDIP，使用试凑法并根据LQR特性，对式(3.10)中LQR参数进行适当微调，以获得更好的调节性能。调试过程基本如下：（1）为提高小车响应速度，适当增加了小车的位置权重；（2）为减少小车调节速度变快导致的摆角增大，适当增加了摆锤角度权重；（3）为尽可能发挥出控制性能，使小车加速度接近限幅值，适当减少了控制量权重。

    为了验证上述分析，将PID-LQR与LQR控制器进行对比分析。为使两者更具可比性，LQR控制器权重矩阵Q与R也使用上述优化方式进行优化。优化后的LQR控制器参数如下：然后把整定后的参数分别带入，获得的响应曲线。LQR与PID-LQR控制下的响应曲线。LQR与LQR-PID两控制器对位置的调节效果十分接近，但LQR-PID在角度方面的调节明显优于LQR，原因如下：（1）摆角和位移为强耦合关系，对位移的理控制可以提高摆角效果降低度强耦合关系，对位移的理控制可以提高摆角效果降低度强耦合关系，对位移的理控制可以提高摆角效果降低度的摆动幅度；（2）LQR控制器在0~1秒内的速度比LQR-PID略大，不仅使第一个摆角峰值增。略大，不仅使第一个摆角峰值增。同时，当小车到达300mm后系统需要立刻减速，导致第二个摆角峰值也增大。综上，与LQR控制器相比，LQR-PID控制器在不损失过多其他性能指标的前提下，摆角达到最小。对于角度尽量小，达到了良好的控制效果，将PID与LQR的优点完美结合。

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